Na relatividade geral, a velocidade da luz não é mais mantida constante, mas depende do sistema de coordenadas quando um campo gravitacional está presente. A ideia fundamental da relatividade geral é que todos sistemas de coordenadas gaussianos são equivalentes para a formulação das leis gerais da natureza, de modo que as equações não devem mudar de forma ao serem submetidas a substituições arbitrárias das variáveis gaussianas. As transformações de Lorentz não satisfazem esta condição.
A equação de campo de Einstein [Albert Einstein, Sitzungsberichte der Preuβische Akademie der Wissenschaften (Berlin), 844 (1915)] modificada para incluir a constante cosmológica Λ [Albert Einstein, Sitzungsberichte der Preuβische Akademie der Wissenschaften (Berlin), 142 (1917)] pode ser escrita como:
(1.22) |
onde é o tensor espaço-tempo, são as componentes do tensor métrico e dependem do sistema de coordenadas usado e da unidade da coordenada temporal, é o tensor momentum-energia, que depende da distribuição e movimento das massas e do campo eletromagnético, é a constante cosmológica, que pode ser nula, e
é a constante gravitacional de Einstein. Na equação (22), onde os dois índices i e k variam de 0 a 3 e R=gikRik é o traço, necessário para que o divergente covariante do lado esquerdo seja nulo, já que a divergência covariante do tensor energia-momentum é nula pela conservação de energia-momentum no limite da relatividade especial. Os dois primeiros termos à esquerda do sinal de igualdade representam a curvatura do espaço-tempo, o termo à direita as forças que atuam neste sistema e o terceiro termo à esquerda, da constante cosmológica , representa a energia do vácuo, que normalmente é assumida nula. Para pequenas regiões do espaço-tempo, o espaço pode ser considerado plano e as coordenadas Lorentzianas. Neste caso,
Para um gás, o tensor energia-momentum em coordenadas curvilíneas pode ser escrito como:
(1.23) |
onde
é a densidade de energia da matéria, incluindo a energia de repouso, medida no sistema em repouso com a matéria, é a pressão isotrópica, e
é a quadri-velocidade do gás.
A conservação de energia-momentum é expressa pela lei fundamental de geometria:
A equação (22) pode ser escrita como:
(1.24) |
A equação da geodésica (world line) de uma partícula pode ser definida em termos do seu tempo próprio e da sua quadri-velocidade como:
(1.25) |
Escolhendo-se um sistema de coordenadas tal que:
podemos escrever os componentes da equação (25) como:
(1.26) |
onde são os símbolos de Christoffel [Elwin Bruno Christoffel (1829-1900)], se as coordenadas formam uma base:
Note que, na equação (26), as componentes da “derivada” () precisam ser corrigidas pelos termos proporcionais aos símbolos de Christoffel porque as coordenadas generalizadas de Gauss podem variar rapidamente, levando a mudanças nas componentes de um vetor mesmo que o vetor não varie.
Ou seja, a equação em coordenadas curvilíneas que define a linha geodésica (linha que seguirá uma partícula livre) conectando dois pontos no espaço-tempo é dada por:
que pode ser resolvida especificando-se os valores iniciais de e para .
Para descrever completamente um espaço-tempo curvo, o matemático alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), que obteve seu doutorado sob a supervisão de Gauss, demonstrou que é preciso de um tensor de ordem 4:
chamado de tensor de curvatura de Riemann. Com este tensor de quarta ordem podemos construir um tensor de segunda ordem por contração:
onde índices repetidos significam soma, pela convenção da soma de Einstein. Este tensor de segunda ordem é chamado de tensor Ricci [Georgorio Ricci-Curbastro (1853-1925)], que contraído nos dá a curvatura escalar do espaço-tempo:
A densidade de massa-energia, medida por um observador de quadri-velocidade é dada por:
FONTE: Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS
Créditos: Kepler de Souza Oliveira Filho
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