Teoria das perturbações

Quando calculamos a órbita da Terra em torno do Sol, omitimos, de nossas equações, todos os outros planetas. No entanto, a atração de Júpiter, por exemplo, causa pequenas alterações na órbita terrestre. Para fazer uma estimativa dessas pequenas correções, elaborou-se um método, na mecânica celeste, que permitia a utilização, como ponto de partida, da órbita terrestre não perturbada, isto é, calculada omitindo-se Júpiter, calculando-se diretamente as modificações que deviam ser introduzidas na órbita não-perturbada. O aperfeiçoamento dessa técnica levou até mesmo à descoberta de novos planetas (Netuno, por exemplo, “traído” pela perturbação que causava na órbita de Urano).

A mecânica quântica tomou emprestada à mecânica celeste essa ideia, e surgiu assim a teoria das perturbações, que visa, a partir da solução conhecida de certos problemas, obter uma solução aproximada de problemas que, em algum sentido, são próximos ao problema resolvido. A teoria quântica das perturbações, porém, é muito mais simples do que aquela clássica.

Perturbação de estados estacionários

Seja $\hat{H}_0$ um hamiltoniano cujo problema de autovalores já resolvemos. Conhecemos, então, as funções $\psi_{n}^{(0)}$ e os números $E_{n}^{(0)}$ tais que

480

Seja agora $\hat{H}=\hat{H}_{0}+\hat{V}$ um novo hamiltoniano, muito próximo de $\hat{H}_{0}$ , no seguinte sentido: todos os elementos de matriz $V_{nm}$ , em relação à base formada pelas $\psi_{n}^{(0)}$ , são pequenos em relação aos $E_{n}^{(0)}$ Diz-se então que $\hat{V}$ é uma perturbação, que $\hat{H}$ é o hamiltoniano perturbado, e que $\hat{H}_0$ é o hamiltoniano não-perturbado. É intuitivo que, nessas condições, os autovalores de $\hat{H}$ sejam próximos dos de $\hat{H}_{0}$ , o mesmo acontecendo para as autofunções. Procuraremos simplificar a determinação das quantidades associadas a $\hat{H}$ utilizando o fato de que elas são correções às quantidades associadas a $\hat{H}_{0}$ .

O problema de autovalores de $\hat{H}$ se escreve

481

Como o conjunto dos $\psi_{n}^{(0)}$ é completo, existe a expansão

482

e a Eq.(482) pode ser escrita

483

484

Vamos usar agora a ortonormalidade dos $\psi_{m}^{(0)}$ . Multiplicando (483) à esquerda por $\psi_{k}^{(0)*}$ e integrando, temos:

485

Mas

$\begin{displaymath} \int dq \psi_{k}^{(0)*}\hat{H}_{0}\psi_{m}^{(0)}=E_{k}^{(0)}\delta_{km} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \int dq \psi_{k}^{(0)*}\psi_{m}^{(0)}=\delta_{km} \end{displaymath}$

Logo,

486

487

que é uma equação exata! Vamos agora introduzir as aproximações.

Uma condição básica para o que segue é que cada nível perturbado esteja muito próximo de um único nível não-perturbado, de sorte que $\psi_n$ seja muito próximo de $\psi_{n}^{(0)}$ , etc. Ou seja,

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onde os pontos denotam termos muito menores. Na expansão

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teremos então

490

com $c_{nm}^{(1)} \ll 1$ . Ao mesmo tempo, escreveremos

491

com $\frac{E_{n}^{(1)}}{E_{n}^{(0)}} \ll 1 \;.$

Usando (491) e (492) na Eq.(488), temos

492

Tomemos $n \neq k$ . A Eq.(493), dá:

493

Tomando na Eq.(493), obtemos

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O primeiro resultado importante é este: a primeira correção ao autovalor não perturbado $E_{n}^{(0)}$ , é o valor médio do potencial perturbado, $V_{nn}$ , na função de onda não perturbada correspondente àquele valor de .

A construção da função de onda perturbada ainda não é possível, pois temos apenas os $c_{nk}^{(1)}$ para $n \neq k$ . Falta determinar $c_{nn}^{(1)}$ . Veremos agora que $c_{nn}^{(1)}$ pode ser tomado igual a zero. De fato, temos

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ou, usando os resultados já obtidos,

Impondo que $\psi_{n}$ seja normalizada a menos de termos de segunda ordem, temos

$\begin{eqnarray*} & & \int dq \psi_{n}^*(q)\psi_{n}(q)=\\ & & \int dq \left\... ...{(0)}\\ & = & 1 + \left(c_{nn}^{(1)*}+c_{nn}^{(1)}\right) = 1 \end{eqnarray*}$

Logo,

500

501

onde $\alpha$ é um número real. Assim, o primeiro termo de (500) é

502

que, nesta ordem, é indistinguível de

503

Ou seja, o termo $c_{nn}^{(1)}$ só contribui para uma mudança de fase de $\psi_{n}^{(0)}$ , que, de qualquer forma, é definido a menos de uma fase. Logo, podemos legitimamente por $c_{nn}^{(1)}=0$ . Os resultados então são, até primeira ordem²⁴,

Exemplo trivial: Oscilador Harmônico com perturbação linear

Seja $\hat{H}_{0}=\vec{p}^2/(2m)$ o hamiltoniano não-perturbado, e

$\begin{displaymath} \hat{H}=\frac{\vec{p}^2}{2m}+ 1/2(k+\Delta k)x^2 \end{displaymath}$

o hamiltoniano perturbado. Neste caso o problema de autovalores de $\hat{H}$ , o hamiltoniano perturbado, pode ser resolvido exatamente, pois é essencialmente igual a $\hat{H}_0$ , com um diferente valor de . De fato, seus autovalores são