Massa de Planck

A energia gravitacional é dada por:

E_G $\displaystyle \simeq$ $\displaystyle {\frac{GM^2}{r}}$

desprezando-se o fator de integração, da ordem de 3/5 para distribuições esféricas. Assumindo que a massa seja constante, podemos escrever em primeira ordem:

$\displaystyle \Delta$ E = $\displaystyle {\frac{GM^2}{\Delta r}}$

O princípio da incerteza pode ser escrito como

$\displaystyle \Delta$ r× $\displaystyle \Delta$ p $\displaystyle \geq$ h

(1)

Note que usamos h e não $\hbar$ porque estamos usando r e p em módulo, e não somente em uma direção. Mas

$\displaystyle \Delta$ E = c $\displaystyle \Delta$ p

Logo

$\displaystyle \Delta$ E	$\displaystyle \geq$	$\displaystyle {\frac{hc}{\Delta r}}$
	=	$\displaystyle {\frac{GM^2}{\Delta r}}$

e podemos escrever:

GM² $\displaystyle \geq$ hc

Definimos a massa de Planck como:

$\displaystyle \boxed{M_{\mathrm{Planck}}\equiv \sqrt{\frac{hc}{G}}}$

Nosso valor difere do valor na literatura

M_Planck= $\displaystyle \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}$

devido ao uso de h e não $\hbar$ na equação 1

O comprimento de Planck é dado por:

$L_{Planck}} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}= 1,66 \times 10^{-33}{cm}$

FONTE: Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS

Créditos: Kepler de Souza Oliveira Filho

© Os textos, gráficos e imagens desta página têm registro: ISBN 85-7025-540-3 (2000), ISBN 85-904457-1-2 (2004), ISBN 978-85-7861-187-3 (2013), e só podem ser copiados integralmente, incluindo o nome dos autores em cada página. Nenhum uso comercial deste material é permitido, sujeito às penalidades previstas em lei.
© Kepler de Souza Oliveira Filho & Maria de Fátima Oliveira Saraiva

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