Incertezas na fotometria


Determinação das incertezas

A maneira correta de determinar as incertezas nos parâmetros é calculando a varianção de um parâmetro qualquer $ z$:

$\sigma_z^2 \equiv \langle (\Delta z)^2\rangle$

onde o quadrado é necessário para que grandes incertezas negativas não se anulem com grandes incertezas positivas, $<a> significa a média e onde

$\Delta z = z_{calculado}-z_{observado}$

Agora suponhamos que $ z$ seja uma função de duas variáveis $ x$ e $ y$, $ z=z(x,y)$. Podemos expandir por série de Taylor [Brook Taylor (1685-1731), Methodus incrementorum directa et inversa (1715)]:

$\Delta z = \frac{dz}{dx}\Delta x + \frac{dz}{dy}\Delta y$

de onde obtemos:

$\sigma_z^2 \equiv \langle (\Delta z)^2\rangle$ $=$ $\Bigg\langle \left(\frac{dz}{dx}\Delta x + \frac{dz}{dy}\Delta y\right)^2\Bigg\rangle$
$=$ $\Bigg\langle \left(\frac{dz}{dx}\right)^2 \left(\Delta x\right)^2...<br /><br /><br /><br /><br /><br /> ... x \Delta y<br /><br /><br /><br /><br /><br /> + \left(\frac{dz}{dy}\right)^2 \left(\Delta y\right)^2 \Bigg\rangle$

Se as variáveis $ x$ e $ y$ são separáveis, podemos reduzir a equação acima a

$\sigma_z^2 = \left(\frac{dz}{dx}\right)^2<br /><br /><br /><br /><br /><br /> \big\langle \left(\Delta ...left(\frac{dz}{dy}\right)^2 \big\langle<br /><br /><br /><br /><br /><br /> \left(\Delta y\right)^2 \big\rangle$

e, por definição:

$\sigma_x^2 \equiv \langle (\Delta x)^2\rangle$
$\sigma_y^2 \equiv \langle (\Delta y)^2\rangle$
$\sigma_{xy}^2 \equiv \langle \Delta x \Delta y\rangle$

de modo que

$\sigma_z^2 = \left(\frac{dz}{dx}\right)^2 \sigma_x^2 + 2\frac{dz}{dx} \frac{dz}{dy} \sigma_{xy}^2 + \left(\frac{dz}{dy}\right)^2 \sigma_y^2 $

Por exemplo, da equação do CCD, que descreve as contribuições dos diversos tipos de ruído nas medidas, supondo que tenhamos $ N_*$ fotoelétrons (contagens) detectados de um objeto, o ruído estatístico (Poissoniano) da medida será dado por $ R=\sqrt{N_*}$. Mas em um CCD temos outras fontes de ruído:

$R=\sqrt{N_*+n_{pix}(1+\frac{n_{pix}}{n_B})<br /><br /><br /><br /><br /><br /> (N_B + N_D + N_R^2 + G^2 \sigma_f^2)}$

onde

$ N_*$ número total de contagens coletadas do objeto (em elétrons)
$ n_{pix}$ número de pixels considerados
$ n_B$ número de pixeis de fundo (céu)
$ N_B$ número total de contagens por pixel de fundo (céu, em elétrons)
$ N_D$ número total de contagens por pixel de corrente de escuro (térmicos, em elétrons)
$ N_R$ ruído de leitura por pixel (em elétrons)
$ G$ Ganho do detector (número de elétrons/ADU)
$ \sigma_f$ $\sigma$ da contagem fracional perdida na discretização por pixel (em ADU)

Desta forma, a incerteza na medida do número de elétrons é dada pelo seu ruído, $ R$.

Mas quando convertemos estas contagens em magnitudes observadas em um certo filtro, representado pelo seu comprimento de onda efetivo, temos outras incertezas:

$m^o_\lambda= -2,5 \log F_\lambda + C_\lambda$

onde $ F_\lambda$ é o fluxo medido, que pode ser o número de fótons detectados por unidade de tempo por unidade de área, ou a energia correspondente, e $ C_\lambda$ a constante do ponto zero daquela magnitude (correspondente ao fluxo de uma estrela de magnitude zero), e $ \sigma(F_\lambda)=R$.

Neste caso, como $ \frac{d\log x}{dx}=\frac{1}{x \ln 10}$

$\sigma(m^o_\lambda) = -2,5 \frac{1}{F_\lambda \ln 10}\sigma(F_\lambda)$

Mas ainda temos que transformar as magnitudes para um sistema padrão:

$m_\lambda = m^o_\lambda + a + b(m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1}) + k_\lambda x$

de modo que

\sigma^2(m_\lambda)$ = $\sigma(b)^2 (m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1})^2 + b^2\sigma(m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1})^2 + \sigma(k_\lambda)^2 x^2 + k_\lambda^2 \sigma(x)^2+2\sigma(m^o_\lambda,a) +2\sigma(m^o_\lambda,b)(m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1}) +2\sigma(m^o_\lambda,m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1})b +2\sigma(m^o_\lambda,k_\lambda)x +2\sigma(m^o_\lambda,x)k_\lambda +2\sigma(a,b)(m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1}) +2\sigma(a,m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1})b +2\sigma(a,k_\lambda)x +2\sigma(a,x)k_\lambda +2\sigma(b,m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1})b (m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1}) +2\sigma(b,k_\lambda)(m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1}) x +2\sigma(b,x)(m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1}) k_\lambda +2\sigma(k_\lambda,x)k_\lambda x

onde $ \sigma(x)$ é a variação da massa de ar durante a exposição. Os coeficientes são calculados pela matriz de covariança.


FONTE: Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS

Créditos: Kepler de Souza Oliveira Filho

© Os textos, gráficos e imagens desta página têm registro: ISBN 85-7025-540-3 (2000), ISBN 85-904457-1-2 (2004), ISBN 978-85-7861-187-3 (2013), e só podem ser copiados integralmente, incluindo o nome dos autores em cada página. Nenhum uso comercial deste material é permitido, sujeito às penalidades previstas em lei.
© Kepler de Souza Oliveira Filho & Maria de Fátima Oliveira Saraiva

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