Coordenadas Gaussianas


gauss

Em um sistema de coordenadas Euclidiano, a unidade de distância não varia com a posição. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) propôs um sistema de coordenadas geral, não Euclidiano; imaginemos um sistema de coordenadas de curvas arbitrárias, não justapostas, em uma superfície qualquer. Em uma direção designemos as curvas por $ u$, designando-as $ u=1$, $ u=2$, …. Entre as curvas $ u=1$ e $ u=2$ podemos imaginar um número infinito de curvas, correspondendo aos números naturais entre 1 e 2. As curvas não se intersectam e somente uma curva passa por cada ponto da superfície, de modo que um valor perfeitamente definido de $ u$ pode ser estabelecido para cada ponto. Podemos estabelecer um sistema $ v$ de coordenadas sobre a superfície, de modo que um valor de $ u$ e $ v$ possam ser estabelecidos para cada ponto da superfície. Chamamos estes pontos de coordenadas gaussianas da superfície. Dois pontos próximos terão coordenadas $ P$ e $ P'$, com coordenadas:

$\displaystyle P: \quad u,v$
$\displaystyle P':\quad u+du, v+dv,$

onde $ du$ e $ dv$ são pequenos. A distância entre estes pontos $ ds$ será dada por:

$\displaystyle ds^2 = g_{11}du^2 + 2 g_{12} du\,dv + g_{22} dv^2,$

onde $ g_{11}$, $ g_{12}$ e $ g_{22}$ dependem de $ u$ e $ v$, e representam a variação da unidade de distância em relação a elas. Somente para o caso especial em que a superfície seja Euclidiana e as coordenadas cartesianas, isto é, independentes, podemos escrever:

$\displaystyle ds^2 = du^2 + dv^2.$

Podemos generalizar as coordenadas de Gauss para um contínuo de três ou mais dimensões. Para um contínuo de quatro dimensões, como o espaço de Minkowski, podemos escrever que dois pontos adjacentes estão separados por uma distância:

$\displaystyle ds^2 = g_{11}dx_1^2 + 2 g_{12} dx_1\,dx_2 + \cdots + g_{44} dx_4^2,$

onde os valores de $ g_{ik}$ variam com a posição.

$\displaystyle ds^2 = g_{ik}dx^idx^k,$

onde está implícita a soma sobre todos os valores de $ i$ e $ k$.

Por exemplo, para um sistema de coordenadas esféricas no espaço plano:

$\displaystyle ds^2 = d(ct)^2 - dr^2 - r^2d\theta^2 - r^2 \mathrm{sen}^2 \theta\, d\phi^2,$

enquanto em coordenadas cilíndricas:

$\displaystyle ds^2 = d(ct)^2 - dr^2 - r^2d\phi^2 - dz^2.$

FONTE: Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS

Créditos: Kepler de Souza Oliveira Filho

© Os textos, gráficos e imagens desta página têm registro: ISBN 85-7025-540-3 (2000), ISBN 85-904457-1-2 (2004), ISBN 978-85-7861-187-3 (2013), e só podem ser copiados integralmente, incluindo o nome dos autores em cada página. Nenhum uso comercial deste material é permitido, sujeito às penalidades previstas em lei.
© Kepler de Souza Oliveira Filho & Maria de Fátima Oliveira Saraiva

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