Parâmetro de Densidade


Consideremos agora a força gravitacional resultante sobre uma partícula pertencente a um Universo de massa $ M$, homogêneo e isotrópico, em expansão. Consideraremos uma partícula na superfície da esfera de raio $ r(t)$:

Em um dado instante, a partícula sofrerá uma aceleração gravitacional dada por:

$\displaystyle {\frac{d^2 r}{dt^2}} = - {\frac{GM} {r^2}}.$ (1.6)

Esta aceleração é de frenagem, ou seja, tenderá a reduzir a expansão do Universo.

A energia mecânica da partícula, $ E$, assumindo-se a constante cosmológica $\Lambda$=0, será:

$\displaystyle E = \frac{1}{2}m \left({\frac{dr}{dt}} \right)^2 - {\frac{GMm}{r}},$ (1.7)

Note que no caso em que apenas a gravidade atua no Universo, $ E = \mathrm{constante}$. Neste caso, sabemos que o sinal de $ \varepsilon$ determina se as partículas poderão se afastar indefinidamente umas das outras ou não:

$ E > 0 \rightarrow$ expansão indefinida: Universo aberto.

$ E < 0 \rightarrow$ expansão contida: Universo fechado.

Omitiremos a coordenada $ t$ para r(t) e H(t) na derivação a seguir. Como a massa $ M$ é dada por

$\displaystyle M = {\frac {4\pi r^3 } {3}}\rho(t),$ (1.8)

podemos reescrever a eq. (7) como:

$\displaystyle 2E = m\left( {\frac {dr}{dt} } \right)^2 - m{\frac{8\pi Gr^2} {3} }\rho(t),$ (1.9)

Seja agora a densidade crítica, $ \rho_c$, definida como aquela para a qual a gravidade está no limite de conter a expansão (ou seja, $ E =0$):

$\displaystyle \rho_c(t) = {\frac {3H^2}{8\pi G} },$ (1.10)

Inserindo $ \rho_c(t)$ na eq. (9), temos:

$\displaystyle {\frac{2E}{mr^2} } = H^2 - {\frac{H^2~\rho(t)} {\rho_c(t)} } = H^2\left[1 - \Omega(t)\right],$ (1.11)

onde

$\displaystyle \boxed{\Omega(t) = \frac{\rho(t)}{\rho_c(t)}}$

é chamado parâmetro de densidade.

Como $ r^2$ e $ H^2$ são sempre positivos, os sinais de $ E$ e $ \Omega(t)$ estão anti-correlacionados:

$ \Omega(t) > 1~\rightarrow~\rho(t) > \rho_c(t),~E < 0$: Universo fechado.

$ \Omega(t) < 1~\rightarrow~\rho(t) < \rho_c(t),~E > 0$: Universo aberto.

$ \Omega(t) = 1~\rightarrow~\rho(t) = \rho_c(t),~E = 0$: Universo plano.

Vamos escrever a energia $ E$ em termos das propriedades no presente, usando-se a lei de Hubble:

$\displaystyle E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}m \left({\frac{dr}{dt}} \right)^2 -<br /> {\frac{GMm}{r}}=\frac{1}{2}mH_0^2r_0^2 -Gm\frac{4\pi}{3}r_o^2\rho_0\cr$

Substituindo

$\displaystyle \Omega_0 = \frac{\rho_0}{\rho_c} = \frac{8\pi G\rho_0}{3H_0^2},$

obtemos:

$\displaystyle E = \frac{1}{2}m \left({\frac{dr}{dt}} \right)^2 - {\frac{GMm}{r}}=<br /> m\left(\frac{H_0^2}{2}-\frac{1}{2}\Omega_0H_0^2\right)r_0^2.$

Escrevendo-se a massa $ M$ em termos da densidade atual:

$\displaystyle \frac{\dot{r}^2}{r_0^2}-\frac{2G}{r}\frac{4\pi}{3}\frac{r_0^3}{r_0^2}\rho_0<br /> =H_0^2\left[1-\Omega_0\right],$

ou

$\displaystyle \frac{\dot{r}^2}{r_0^2} - H_0^2\Omega_0\frac{r_0}{r} = H_0^2\left[1-\Omega_0\right].$ (1.12)

Definindo-se dois parâmetros de escala:

$\displaystyle t \equiv \frac{\tau_*}{H_0},$
$\displaystyle D_* \equiv \frac{r}{r_0},$

podemos escrever a equação (12) como:

$\displaystyle \left(\frac{dD_*}{d\tau_*}\right)^2 - \frac{\Omega_0}{D_*} = 1 - \Omega_0.$ (1.13)

Na seção 0.1.2 nós resolvemos o caso de $ \Omega=0$. Para $ \Omega \not= 1$, vamos reescalar mais uma vez, definindo:

$\displaystyle \xi \equiv \frac{\vert 1-\Omega_0\vert}{\Omega_0}D_*,$

e

$\displaystyle \tau \equiv \frac{\vert 1-\Omega_0\vert^{3/2}}{\Omega_0}\tau_*,$

para transformar a equação (13) em:

$\displaystyle \left(\frac{d\xi}{d\tau}\right)^2 - \frac{1}{\xi} = \pm 1,$ (1.14)

onde o lado direito é +1 se $ \Omega_0 < 1$, isto é, Universo aberto, e -1 se $ \Omega_0 > 1$, isto é, Universo fechado.

A solução da equação (14) pode ser obtida de:

$\displaystyle \tau = \int_0^\xi \left(\frac{\xi}{1 \pm \xi}\right)^{1/2} d\xi,$

assumindo $ \xi=0$ para $ \tau=0$.

A solução, para o caso do denominador $ 1-\xi$, em que o Universo é fechado e $ \xi \leq 1$, pode ser encontrada fazendo-se a substituição $ \xi=\mathrm{sen}^2 (\eta /2)$, pois obtemos a identidade trigonométrica$ \mathrm{sen}^2 (\eta/2) = (1-\cos \eta)/2$. Para o caso do denominador $ 1+\xi$, em que o Universo é aberto e $ \xi>1$, a substituição é $ \xi=\mathrm{senh}^2 (\eta /2)$, pois obtemos a identidade trigonométrica$ \mathrm{senh}^2 (\eta/2) = (\cosh \eta-1)/2$. Por definição:

$\displaystyle \mathrm{senh}\, \eta \equiv \frac{e^\eta - e^{-\eta}}{2}$ (1.15)

e

$\displaystyle \cosh \eta \equiv \frac{e^\eta + e^{-\eta}}{2}$ (1.16)

Portanto, a solução de forma paramétrica é:

$\displaystyle \mathrm{Universo~fechado}$ $\displaystyle \xi=\frac{1}{2}(1-\cos \eta),$ $\displaystyle \tau=\frac{1}{2}<br /> (\eta-\mathrm{sen}\,\eta);\cr$

Substituindo as definições de $ \tau$ e $ \tau_*$, obtemos:

Para $ \Omega_0 > 1$:

Para simplificar as equações, vamos definir a variável $ b$:

$\displaystyle b=\frac{\Omega_0-1}{\Omega_0}>0$

escrevemos

$\displaystyle \tau_*^\mathrm{Fechado} = \Omega_0^{-\frac{1}{2}} \int_0^{D_*}<br /> \sqrt{\frac{x}{1-bx}}dx$
$\displaystyle b x = \mathrm{sen}^2(\eta/2) = \frac{1-\cos\eta}{2}$

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$\displaystyle b dx = \mathrm{sen}\,(\eta/2) \cos(\eta/2) d\eta$

e

$\displaystyle \tau_*^\mathrm{Fechado}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \Omega_0^{-\frac{1}{2}} b^{-\frac{3}{2}}<br /> \int \mathrm{sen}^2(\eta/2)d\eta$
$\displaystyle =$ $\displaystyle \Omega_0^{-\frac{1}{2}} b^{-\frac{3}{2}}<br /> \int \frac{1-\cos\eta}{2}d\eta$
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\Omega_0^{-\frac{1}{2}} b^{-\frac{3}{2}}}{2}(\eta - \mathrm{sen}\,\eta)$
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\Omega_0\left(\Omega_0-1\right)^{-\frac{3}{2}}\left(\eta - \mathrm{sen}\,\eta\right)$

ou seja

$\displaystyle t = \frac{1}{2}H_0^{-1}\Omega_0\left(\Omega_0-1\right)^{-\frac{3}{2}}(\eta - \mathrm{sen}\,\eta),$ (1.17)

e

$\displaystyle \frac{r}{r_0} = \frac{\Omega_0}{\Omega_0-1}\frac{1-\cos\eta}{2}$ (1.18)

Para $ t=t_0$, $ r=r_0$:

$\displaystyle \cos \eta_0 = \frac{2-\Omega_0}{\Omega_0},$ $\displaystyle \mathrm{para}~\Omega_0>1$

Para $ \Omega_0 \rightarrow \infty$, $ \mathrm{com}~\cos \eta_0 \rightarrow -1$ e $ \eta_0 \rightarrow \pi$:

$\displaystyle t_0 \rightarrow \frac{1}{2H_0}\Omega_0^{-\frac{1}{2}}\pi \rightarrow 0$

Para $ \Omega_0 \rightarrow +1$, $ \mathrm{com}~\cos \eta_0 \rightarrow 1$ e $ \eta_0 \ll 1$:

$\displaystyle \cos \eta_0 \simeq 1-\frac{\eta_0^2}{2}=\frac{2}{\Omega_0}-1$

ou

$\displaystyle -\frac{\eta_0^2}{2} \simeq \frac{2}{\Omega_0}-2 \longrightarrow<br /> \eta_0 \simeq 2\left(\frac{\Omega_0-1}{\Omega_0}\right)^{1/2}$

e

$\displaystyle t_0 = \frac{1}{2H_0}\Omega_0\left(\Omega_0-1\right)^{-\frac{3}{2}}<br /> \left(\eta_0-\mathrm{sen}\,\eta_0\right)$

Como

$\displaystyle \eta_0-\mathrm{sen}\,\eta_0 \simeq \eta_0 - \left(\eta_0 - \frac{...<br /> ...\frac{\eta_0^3}{6} =<br /> \frac{4}{3}\left(\frac{\Omega_0-1}{\Omega_0}\right)^{3/2}$
$\displaystyle t_0 \rightarrow \frac{2}{3H_0}\Omega_0^{-\frac{1}{2}}$

e finalmente, como $ \Omega_0 \rightarrow +1$

$\displaystyle t_0 \rightarrow \frac{2}{3}H_0^{-1}$

Para $ \Omega<1$:

$\displaystyle \tau_*^\mathrm{Aberto} = \Omega_0^{-\frac{1}{2}} \int_0^{D_*} \sqrt{\frac{x}{1+ax}}dx,<br /> \quad\quad a=\frac{1-\Omega_0}{\Omega_0}>0$
$\displaystyle ax=\mathrm{senh}\,(\eta/2) = \frac{\cosh\eta -1 }{2}$

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$\displaystyle \tau_*^\mathrm{Aberto}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \Omega_0^{-\frac{1}{2}}a^{-\frac{3}{2}}<br /> \int \mathrm{senh}^2(\eta/2)d\eta$
$\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\Omega_0^{-\frac{1}{2}}a^{-\frac{3}{2}}(\mathrm{senh}\,\eta - \eta)$
$\displaystyle t = \frac{1}{2}H_0^{-1}\Omega_0(1-\Omega_0)^{\frac{3}{2}}(\mathrm{senh}\,\eta -\eta),$ (1.19)

e

$\displaystyle \left(\frac{1-\Omega_0}{\Omega_0}\right)\frac{r}{r_0} = \frac{\cosh\eta-1}{2}$

ou

$\displaystyle \frac{r}{r_0} = \frac{\Omega_0}{1-\Omega_0}<br /> \frac{\cosh\eta-1}{2}$

e para $ t=t_0$, $ r=r_0$:

$\displaystyle \frac{1-\Omega_0}{\Omega_0} = \frac{\cosh\eta_0-1}{2}$

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$\displaystyle \cosh\eta_0 = \frac{2-\Omega_0}{\Omega_0}$

Para $ \Omega_0\rightarrow 1$, $ \cosh\eta_0 \rightarrow 1$ e $ \eta_0 \rightarrow 0$:

$\displaystyle \cosh\eta_0 \simeq 1 + \frac{\eta_0^2}{2} \simeq \frac{2}{\Omega_0}-1$

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$\displaystyle \eta_0 \simeq 2\left(\frac{1-\Omega_0}{\Omega_0}\right)^{1/2}$

e

$\displaystyle \mathrm{senh}\,\eta_0-\eta_0 \rightarrow \eta_0 + \frac{\eta_0^3}...<br /> ...\frac{\eta_0^3}{6}<br /> = \frac{4}{3}\left(\frac{1-\Omega_0}{\Omega_0}\right)^{3/2}$

e

$\displaystyle t_0 \rightarrow \frac{2}{3H_0}\Omega_0^{-\frac{1}{2}} \rightarrow<br /> \frac{2}{3}H_0^{-1}$

e para $ \Omega_0 \rightarrow 0$, $ \cosh\eta_0\rightarrow \infty$ e $ \eta_0 \rightarrow \infty$:

$\displaystyle \cosh\eta_0 \simeq \frac{e^{\eta_0}}{2} \simeq \frac{2-\Omega_0}{\Omega_0}$

e pelas definições das funções trigonométricas hiperbólicas (15 e 16):

$\displaystyle \mathrm{senh}\,\eta_0 \simeq \frac{e^{\eta_0}}{2} \longrightarrow...<br /> ...nh}\,\eta_0 - \eta_0 \simeq \mathrm{senh}\,\eta_0 = \frac{2-\Omega_0}{\Omega_0}$

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$\displaystyle t_0 \rightarrow \frac{\Omega_0}{2H_0}\frac{1}{\left(1-\Omega_0\ri...<br /> ...senh}\,\eta_0 =<br /> \frac{1}{2H_0}\frac{2-\Omega_0}{\left(1-\Omega_0\right)^{3/2}}$

e para $ \Omega_0 \rightarrow 0$,

$\displaystyle t_0 \rightarrow H_0^{-1}$

Ou seja, os limites são:

$\displaystyle \Omega_0 \rightarrow 1$ $\displaystyle \mathrm{Universo~marginalmente~fechado}$ $\displaystyle t_0 =\frac{2}{3}H_0^{-1};\cr$

Deste modo, a relação entre a idade do Universo e a constante de Hubble no presente, torna-se:

$\displaystyle \frac{2}{3}H_0^{-1} \leq t_0 \leq H_0^{-1},$   Universo aberto,
$\displaystyle 0 < t_0 < \frac{2}{3}H_0^{-1},$   Universo fechado.

FONTE: Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS

Créditos: Kepler de Souza Oliveira Filho

© Os textos, gráficos e imagens desta página têm registro: ISBN 85-7025-540-3 (2000), ISBN 85-904457-1-2 (2004), ISBN 978-85-7861-187-3 (2013), e só podem ser copiados integralmente, incluindo o nome dos autores em cada página. Nenhum uso comercial deste material é permitido, sujeito às penalidades previstas em lei.
© Kepler de Souza Oliveira Filho & Maria de Fátima Oliveira Saraiva

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