A observação de que o Universo é homogêneo e isotrópico, e que está em expansão segundo a lei de Hubble, produz condições suficientes para que a Teoria da Relatividade Geral prediga concretamente a topologia e a evolução do Universo.
Para um sistema isotrópico e homogêneo, podemos escrever as coordenadas em um sistema esférico, e considerar somente a coordenada radial, que chamaremos de , distância média entre as galáxias, e a coordenada temporal, . Pode-se demonstrar que a componente i=0, k=0 ou i=t, k=t do tensor de Einstein :
é dada por:
A condição de homogeneidade implica que a métrica deve ser homogênea. Para uma esfera de raio r, em três dimensões, uma geodésica é dada por:
Para uma métrica de Friedmann, onde para cada valor de o espaço-tempo representa um hiper-esfera quadri-dimensional de circunferência própria , e o locus define esferas de área , temos:
A circunferência própria () é dada por:
a área da superfície ():
e o volume () da quadri-esfera:
Neste caso,
A equação (24), com , se reduz a:
(1.27) |
já que pela equação (23):
Como o volume total deste Universo fechado é , identificando como a massa total em prótons, nêutrons, elétrons, etc.,
e a equação (27) pode ser escrita como:
(1.28) |
Fazendo a mudança para variáveis adimensionais
a equação (28) pode ser re-escrita como:
que nós já resolvemos com a solução da equação (14) para o caso do Universo fechado. A densidade total é dada por:
Quando o Universo está dominado por matéria,
onde
e como:
Quando o Universo era dominado pela radiação:
onde
e
Podemos expandir a equação (27) para pequeno em:
e integrar, assumindo para ,
ou seja,
O físico-matemático americano Howard Percy Robertson (1894-1979) e o matemático inglês Arthur Geoffrey Walker (1909-), demonstraram em 1935 e 1936 que a métrica mais geral que satisfaz a condição de homogeneidade e isotropia para a geometria do espaço-tempo é a chamada métrica de Robertson-Walker:
Esta métrica pode ser convertida para a forma de Friedmann, com um fator de renormalização. Para a métrica de Robertson-Walker, a componente (00) da equação de campo de Einstein se reduz a:
Como na Equação (3), podemos identificar a constante de Hubble como:
A trajetória de uma galáxia que se move junto com a expansão do Universo é dada por constante, enquanto que a trajetória de um fóton satisfaz . Portanto a distância que um fóton percorre afastando-se radialmente ( e mantidos constantes) de uma fonte é governada pela equação diferencial:
(1.29) |
Logo of fótons sempre atravessam uma distância própria em um intervalo de tempo próprio à velocidade da luz ,
Após ser emitido por uma fonte isotrópica, o fóton atravessa uma esfera de área em um tempo , mas esta área não é igual a , pois depende do valor de e de .
Por exemplo, para um Universo de Einstein-de Sitter, isto é, plano, K=0 e
Se o fóton for emitido num tempo , o desvio para o vermelho na recepção será dado por:
A equação (29), para , se reduz a:
de modo que
onde é a área da esfera centrada na fonte e passando pelo tempo presente. Como ,
já que para o Universo plano . Tendo em vista que Universo plano é Euclidiano, é a distância no presente da fonte, também chamada de distância de comovimento, ou distância radial própria. O raio de comovimento atual é de 21 giga anos-luz.
A distância que o fóton atravessou deste que foi emitido, chamada de distância de viagem da luz, é dada por:
e portanto uma fonte com alto valor de está mais longe do que a distância atravessada pela luz.
Definindo a pressão de cada componente como , implica que a densidade será expressa como
e o parâmetro de desaceleração
e
para um universo dominado por matéria e constante cosmológica, já que , e .
A radiação do fundo do Universo é normalmente decomposta em esféricos harmônicos
e o momentum de multipolo é dado por
relacionado à separação angular
O valor de do primeiro “pico Doppler”, um aumento na potência devido a oscilações acústicas, é diretamente proporcional ao valor de , pois é a escala angular subentendida pelo raio de Hubble quando os fótons da radiação de fundo se originaram, na época da recombinação.
FONTE: Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS
Créditos: Kepler de Souza Oliveira Filho
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